题目内容

14．如图，某机械厂要将长6m，宽2m的长方形铁皮ABCD进行裁剪．已知点F为AD的中点，点E在边BC上，裁剪时先将四边形CDFE沿直线EF翻折到MNFE处（点C，D分别落在直线BC下方点M，N处，FN交边BC于点P），再沿直线PE裁剪．
（1）当∠EFP=$\frac{π}{4}$时，试判断四边形MNPE的形状，并求其面积；
（2）若使裁剪得到的四边形MNPE面积最大，请给出裁剪方案，并说明理由．

分析 （1）当∠EFP=$\frac{π}{4}$时，由条件得∠EFP=∠EFD=∠FEP=$\frac{π}{4}$．可得FN⊥BC，四边形MNPE为矩形．即可得出．
（2）解法一：设$∠EFD=θ\;\;（0＜θ＜\frac{π}{2}）$，由条件，知∠EFP=∠EFD=∠FEP=θ．可得$PF=\frac{2}{sin（π-2θ）}=\frac{2}{sin2θ}$，$NP=NF-PF=3-\frac{2}{sin2θ}$，$ME=3-\frac{2}{tanθ}$．四边形MNPE面积为$S=\frac{1}{2}（NP+ME）MN$=$\frac{1}{2}[{（3-\frac{2}{sin2θ}）+（3-\frac{2}{tanθ}）}]×2$=$6-\frac{2}{tanθ}-\frac{2}{sin2θ}$，化简利用基本不等式的性质即可得出．
解法二：设BE=tm，3＜t＜6，则ME=6-t．可得PE=PF，即$\sqrt{（3-BP{）^2}+{2^2}}=t-BP$．$BP=\frac{{13-{t^2}}}{2（3-t）}$，NP=3-T+$\frac{13-{t}^{2}}{2（3-t）}$，四边形MNPE面积为$S=\frac{1}{2}（NP+ME）MN$=$\frac{1}{2}[{（3-t+\frac{{13-{t^2}}}{2（3-t）}）+（6-t）}]×2$=$6-[{\frac{3}{2}（t-3）+\frac{2}{t-3}}]$，利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：（1）当∠EFP=$\frac{π}{4}$时，由条件得∠EFP=∠EFD=∠FEP=$\frac{π}{4}$．
所以∠FPE=$\frac{π}{2}$．所以FN⊥BC，
四边形MNPE为矩形．…3分
所以四边形MNPE的面积S=PN•MN=2m2．…5分
（2）解法一：
设$∠EFD=θ\;\;（0＜θ＜\frac{π}{2}）$，由条件，知∠EFP=∠EFD=∠FEP=θ．
所以$PF=\frac{2}{sin（π-2θ）}=\frac{2}{sin2θ}$，$NP=NF-PF=3-\frac{2}{sin2θ}$，$ME=3-\frac{2}{tanθ}$． …8分
由$\left\{\begin{array}{l}3-\frac{2}{sin2θ}＞0\\ 3-\frac{2}{tanθ}＞0\\ 0＜θ＜\frac{π}{2}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}sin2θ＞\frac{2}{3}\\ tanθ＞\frac{2}{3}，\;\;\;\;\;\;\;\;\;（*）\\ 0＜θ＜\frac{π}{2}.\end{array}\right.$
所以四边形MNPE面积为$S=\frac{1}{2}（NP+ME）MN$=$\frac{1}{2}[{（3-\frac{2}{sin2θ}）+（3-\frac{2}{tanθ}）}]×2$=$6-\frac{2}{tanθ}-\frac{2}{sin2θ}$=$6-\frac{2}{tanθ}-\frac{{2（{{sin}^2}θ+{{cos}^2}θ）}}{2sinθcosθ}$=$6-（tanθ+\frac{3}{tanθ}）$…12分
$≤6-2\sqrt{tanθ\frac{3}{tanθ}}=6-2\sqrt{3}$．
当且仅当$tanθ=\frac{3}{tanθ}$，即$tanθ=\sqrt{3}\;，θ=\frac{π}{3}$时取“=”．…14分
此时，（*）成立．
答：当$∠EFD=\frac{π}{3}$时，沿直线PE裁剪，四边形MNPE面积最大，
最大值为$6-2\sqrt{3}$m2．  …16分
解法二：
设BE=tm，3＜t＜6，则ME=6-t．
因为∠EFP=∠EFD=∠FEP，所以PE=PF，即$\sqrt{（3-BP{）^2}+{2^2}}=t-BP$．
所以$BP=\frac{{13-{t^2}}}{2（3-t）}$，$NP=3-PF=3-PE=3-（t-BP）=3-t+\frac{{13-{t^2}}}{2（3-t）}$．  …8分
由$\left\{\begin{array}{l}3＜t＜6\\ \frac{{13-{t^2}}}{2（3-t）}＞0\\ 3-t+\frac{{13-{t^2}}}{2（3-t）}＞0\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}3＜t＜6\\ t＞\sqrt{13}，\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;（*）\\{t^2}-12t+31＜0.\end{array}\right.$
所以四边形MNPE面积为$S=\frac{1}{2}（NP+ME）MN$=$\frac{1}{2}[{（3-t+\frac{{13-{t^2}}}{2（3-t）}）+（6-t）}]×2$=$\frac{{3{t^2}-30t+67}}{2（3-t）}$…12分
=$6-[{\frac{3}{2}（t-3）+\frac{2}{t-3}}]$$≤6-2\sqrt{3}$．
当且仅当$\frac{3}{2}（t-3）=\frac{2}{t-3}$，即$t=3+\sqrt{\frac{4}{3}}\;=3+\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$时取“=”． …14分
此时，（*）成立．
答：当点E距B点$3+\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$m时，沿直线PE裁剪，四边形MNPE面积最大，
最大值为$6-2\sqrt{3}$m2．  …16分．

点评 本题考查了函数的性质、矩形的面积计算公式、基本不等式的性质、三角函数的单调性应与求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

练习册系列答案
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学习成绩不优秀人数16218
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参考数据：
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k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828
参考公式：${K^2}=\frac{{n{{（{ad-bc}）}^2}}}{{（{a+b}）（{c+d}）（{a+c}）（{b+d}）}}$，其中n=a+b+c+d
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