Question

1．已知f（x）=$\sqrt{3}$cos（2x-$\frac{π}{2}$）+8sin²（$\frac{π}{4}$+$\frac{x}{2}$）cos²（$\frac{π}{4}$+$\frac{x}{2}$）-1．
（1）求f（x）的最小正周期和对称中心；
（2）若f（α）=1，α∈[0，π），求α的值；
（3）若cos（x+$\frac{π}{6}$）=$\frac{4}{5}$，x∈（0，$\frac{π}{2}$），求f（x）的值．

Answer 1

分析 由三角函数公式化简可得f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）
（1）由周期公式可得周期，由2x+$\frac{π}{6}$=kπ可得对称中心；
（2）由f（α）=1，可得sin（2α+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，结合α∈[0，π）可得α的值；
（3）由题意和同角三角函数关系和二倍角公式可得sin（2x+$\frac{π}{3}$）=和cos（2x+$\frac{π}{3}$）的值，代入f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{3}$）-cos（2x+$\frac{π}{3}$）化简可得．

解答 解：化简可得f（x）=$\sqrt{3}$cos（2x-$\frac{π}{2}$）+8sin²（$\frac{π}{4}$+$\frac{x}{2}$）cos²（$\frac{π}{4}$+$\frac{x}{2}$）-1
=$\sqrt{3}$sin2x+8•$\frac{1-cos（\frac{π}{2}+x）}{2}$•$\frac{1+cos（\frac{π}{2}+x）}{2}$-1
=$\sqrt{3}$sin2x+2（1+sinx）（1-sinx）-1
=$\sqrt{3}$sin2x+2cos²x-1
=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）；
（1）∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π，
由2x+$\frac{π}{6}$=kπ可得x=$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{12}$，k∈Z．
∴对称中心为（$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{12}$，0），k∈Z．
（2）由f（α）=1，可得2sin（2α+$\frac{π}{6}$）=1，
∴sin（2α+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，∵α∈[0，π），
∴2α+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{13π}{6}$），
∴2α+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{6}$或$\frac{5π}{6}$，∴α=0或α=$\frac{π}{3}$；
（3）∵cos（x+$\frac{π}{6}$）=$\frac{4}{5}$，x∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴sin（x+$\frac{π}{6}$）=$\sqrt{1-co{s}^{2}（x+\frac{π}{6}）}$=$\frac{3}{5}$
∴cos（2x+$\frac{π}{3}$）=2cos²（x+$\frac{π}{6}$）-1=$\frac{7}{25}$，
sin（2x+$\frac{π}{3}$）=2sin（x+$\frac{π}{6}$）cos（x+$\frac{π}{6}$）=$\frac{24}{25}$，
∴f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）=2sin[（2x+$\frac{π}{3}$）-$\frac{π}{6}$]
=$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{3}$）-cos（2x+$\frac{π}{3}$）
=$\sqrt{3}×\frac{24}{25}-\frac{7}{25}$=$\frac{24\sqrt{3}-7}{25}$．

点评 本题考查三角函数恒等变换，涉及三角函数的周期性和对称性以及同角三角函数的基本关系，属中档题．