Question

11．一个几何体的三视图如图，则该几何体的表面积为$10+4\sqrt{2}+2\sqrt{3}$，体积为4．

Answer 1

分析 由三视图可得几何体直观图为四棱锥B-ACQP：其中PA∥QC，PA⊥侧面ABC，AB⊥AC．PA=$\frac{1}{2}$QC=2，AB=AC=2．QB=$\sqrt{{4}^{2}+（2\sqrt{2}）^{2}}$=2$\sqrt{6}$．利用表面积与体积计算公式即可得出．

解答 解：由三视图可得几何体直观图为四棱锥B-ACQP：其中PA∥QC，PA⊥侧面ABC，AB⊥AC．
PA=$\frac{1}{2}$QC=2，AB=AC=2．
QB=$\sqrt{{4}^{2}+（2\sqrt{2}）^{2}}$=2$\sqrt{6}$．
∴该几何体的表面积S=$\frac{2+4}{2}×2$+$\frac{1}{2}×4×2\sqrt{2}$+$\frac{1}{2}×{2}^{2}×2$+$\frac{1}{2}×2\sqrt{6}×\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}-（\sqrt{6}）^{2}}$=10+4$\sqrt{2}$+2$\sqrt{3}$．
体积V=$\frac{1}{3}×\frac{2+4}{2}×2×2$=4．
故答案为：$10+4\sqrt{2}+2\sqrt{3}$，4．

点评 本题考查了四棱锥的三视图、表面积与体积计算公式、勾股定理，考查了空间想象能力与计算能力，属于中档题．