Question

18．已知直线l：y=x+m与函数f（x）=ln（x+2）的图象相切于点P．
（1）求实数m的值；
（2）证明除切点P外，直线l总在函数f（x）的图象的上方；
（3）设a，b，c是两两不相等的正实数，且a，b，c成等比数列，试判断f（a）+f（c）与2f（b）的大小关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）设切点为P（x₀，x₀+m），根据切点在两条曲线上，及f（x）=ln（x+2）于点P处的导数为1，列式求得m=1．
（2）构造函数g（x）=x+1-ln（x+2），证明g（x）＞0即可．
 （3）可得$a+c＞2\sqrt{ac}$．b²=ac，即$a+c＞2\sqrt{ac}=2b$．，且函数f（x）=ln（x+2）是增函数，故ln[ac+2（a+c）+4]＞ln（b²+4b+4），f（a）+f（c）＞2f（b）．

解答 解：（1）设切点为P（x₀，x₀+m），则f'（x₀）=1．
由$f'（x）=\frac{1}{x+2}$，有$1=\frac{1}{{{x_0}+2}}$，解得x₀=-1，
于是m-1=0，得m=1．…（2分）
（2）构造函数g（x）=x+1-ln（x+2），其导数$g'（x）=1-\frac{1}{x+2}=\frac{x+1}{x+2}$．
当x∈（-2，-1）时，g'（x）＜0；当x∈（-1，+∞）时，g'（x）＞0；
所以g（x）在区间（-2，-1）单调递减，在区间（-1，+∞）单调递增．
所以g（x）＞g（-1）=0．
因此对于x∈（-2，-1）∪（-1，+∞），总有x+1＞ln（x+2），
即除切点（-1，0）外，直线l总在函数f（x）的图象的上方．…（7分）
（3）因为a，b，c是两两不相等的正实数，所以$a+c＞2\sqrt{ac}$．
又因为a，b，c成等比数列，所以b²=ac，
于是$a+c＞2\sqrt{ac}=2b$．
而f（a）+f（c）=ln[（a+2）（c+2）]=ln[ac+2（a+c）+4]，2f（b）=2ln（b+2）=ln（b²+4b+4）．
由于ac+2（a+c）+4=b²+2（a+c）+4＞b²+4b+4，且函数f（x）=ln（x+2）是增函数，
因此ln[ac+2（a+c）+4]＞ln（b²+4b+4），
故f（a）+f（c）＞2f（b）．…（14分）

点评 本题考查了导数的综合应用，考查了转化思想、不等式的性质，属于中档题．