Question

1．从双曲线C：b²x²-a²y²=a²b²（a＞0，b＞0）的左焦点F₁引圆x²+y²=a²的切线为l，切点为T，且l交双曲线的右支于点P，若点T满足$\overrightarrow{{F_1}T}=2\overrightarrow{TP}$，则双曲线C的离心率为$\sqrt{10}$．

Answer 1

分析 化双曲线方程为标准式，作出图形，由已知利用平面几何知识把|F₁P|、|F₂P|都用含有b得代数式表示，代入双曲线定义即可求得双曲线C的离心率．

解答 解：双曲线C：b²x²-a²y²=a²b²（a＞0，b＞0）化为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞0，b＞0）．
设双曲线的右焦点为F₂，点M是线段F₁P的中点，点O为坐标原点，
∴|F₁T|=$\sqrt{|{F}_{1}O{|}^{2}-|OT{|}^{2}}$=$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}=b$．
∵$\overrightarrow{{F_1}T}=2\overrightarrow{TP}$，∴$|{F}_{1}P|=\frac{3}{2}|{F}_{1}T|=\frac{3}{2}b$，$|MT|=\frac{b}{4}$，$|{F}_{2}P|=2|OM|=2\sqrt{{a}^{2}+（\frac{1}{4}b）^{2}}$．
由双曲线定义，|F₁P|-|F₂P|=2a，即$\frac{3}{2}b-2\sqrt{{a}^{2}+（\frac{1}{4}b）^{2}}=2a$．
∴$\frac{3}{2}b-2a=2\sqrt{{a}^{2}+（\frac{1}{4}b）^{2}}$，两边平方并整理得：$\frac{b}{a}=3$．
则$\frac{{c}^{2}-{a}^{2}}{{a}^{2}}=9$，e²=10．
∴$e=\frac{c}{a}=\sqrt{10}$．
故答案为：$\sqrt{10}$．

点评 本题考查双曲线的简单性质，考查了计算求解能力，是中档题．