题目内容
利用单调性的定义，讨论f（x）=
在（-1，1）上的单调性，a为实数且a≠0．
| ax |
| x2-1 |
考点：函数单调性的判断与证明
专题：函数的性质及应用
分析：根据单调性的定义，设x1，x2∈（-1，1），且x1＜x2，讨论a，判断f（x1）与f（x2）的大小，即可判断f（x）在（-1，1）上的单调性．
解答：
解：设-1＜x1＜x2＜1；
则f（x1）-f（x2）=
-
=
；
∵-1＜x1＜x2＜1，
∴x12-1＜0，x22-1＜0，x2-x1＞0，x1x2+1＞0；
∴若a＞0，f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），
∴f（x）在（-1，1）上单调递减；
若a＜0，f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
∴f（x）在（-1，1）上单调递增．
则f（x1）-f（x2）=
| ax1 |
| x12-1 |
| ax2 |
| x22-1 |
| a(x2-x1)(x1x2+1) |
| (x12-1)(x22-1) |
∵-1＜x1＜x2＜1，
∴x12-1＜0，x22-1＜0，x2-x1＞0，x1x2+1＞0；
∴若a＞0，f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），
∴f（x）在（-1，1）上单调递减；
若a＜0，f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
∴f（x）在（-1，1）上单调递增．
点评：考查单调性的定义，以及利用定义判断函数单调性的过程．
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