Question

甲、乙两地相距skm，汽车从甲地以速度v（km/h）匀速行驶到乙地．已知汽车每小时的运输成本由固定成本和可变成本组成，固定成本为a元，可变成本与速度v的平方成正比，比例系数为k．
（1）为使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？
（2）若规定汽车每小时的可变成本不多于每小时的运输成本的

1

5

，为使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？

Answer 1

考点：函数模型的选择与应用

专题：应用题,导数的综合应用

分析：（1）由题意得汽车每小时的运输成本为（a+kv²）元，全程行驶时间为

s

v

h，设出全程运输成本y，则由每小时的运输成本乘以运输时间得到运输成本关于速度的函数．然后利用基本不等式求最值；
（2）由汽车每小时的可变成本不多于每小时的运输成本的

1

5

求得速度范围，对运输成本关于速度的函数求导，利用导数求函数在速度范围内的最小值．

解答： 解：（1）汽车每小时的运输成本为（a+kv²）元，全程行驶时间为

s

v

h，设全程运输成本为y元．
则y=(a+kv2)•

s

v

=s(kv+

a

v

)≥s•2

kv• a v

=2s

ak

，
当且仅当kv=

a

v

，即v=

a k

时等号成立．
∴为使全程运输成本最小，汽车应以

a k

（km/h）的速度行驶；
（2）由题意得kv2≤

1

5

(a+kv2)，得v≤

1

2

a k

．
设f(v)=s(kv+

a

v

)，
则 f′(v)=s(k-

a

v2

)=s•

kv2-a

v2

≤s•

k• 1 4 a k -a

v2

＜0，
∴f（v）在(0，

1

2

a k

]上是减函数，
∴当v=

1

2

a k

时，f(v)min=s(k•

1

2

a k

+

a

1 2 a k

)=

5

2

s

ak

．
答：为使全程运输成本最小，汽车应以

1

2

a k

（km/h）的速度行驶．

点评：本题考查了函数模型的选择及应用，考查了利用基本不等式求最值和利用导数求函数的最值，关键是正确建立数学模型，是中档题．