Question

在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建坐标系，已知曲线C：ρsin²θ=acosθ（a＞0），已知过点P（-2，-4）的直线l的参数方程为：

x=-2+ 2 2 t y=-4+ 2 2 t

，直线l与曲线C分别交于M，N两点．
（Ⅰ）写出曲线C和直线l的普通方程；    
（Ⅱ）若a=2，求线段|MN|的长度．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程

专题：坐标系和参数方程

分析：本题（Ⅰ）利用极坐标方程普通方程的坐标关系式，将极坐标方程化成普通方程，通过消参数将参数方程化成普通方程；（Ⅱ）利用曲线C的普通方程和直线l的参数方程，求出相应的参数，利用参数差的绝对值得到MN的长度，即本题结论．

解答： 解：∵曲线C：ρsin²θ=acosθ（a＞0），
∴（ρsinθ）²=2ρcsθ．
∵

x=ρcosθ y=ρsinθ

∴y²=ax．
∵直线l的参数方程为：

x=-2+ 2 2 t y=-4+ 2 2 t

（t为参数），
∴两式相关得减到y=x-2．
∴曲线C和直线l的普通方程分别为 y²=ax，y=x-2．
（Ⅱ）直线l的参数方程为：

x=-2+ 2 2 t y=-4+ 2 2 t

（t为参数），
代入 y²=ax，得到t2-10

2

t+40=0．
则有t 1+t2=10

2

，t₁t₂=40．
∵|MN|=|t₁-t₂|，
∴|MN|²=(t1+t2)2-4t1t2=40．
解得|MN|=2

10

．
∴线段|MN|的长度为2

10

．

点评：本题考查的是极坐标与参数方程的知识，计算量较大，属于中档题．