题目内容
已知f（x）为定义在（0，+∞）上的可导函数，且f（x）＞xf′（x），则不等式x2f(
)-f(x)＜0的解集为 ．
| 1 |
| x |
考点：利用导数研究函数的单调性
专题：常规题型
分析：由已知当x＞0时，总有f（x）＞xf′（x）成立，可判断函数g（x）=
为减函数，而不等式x2f(
)-f(x)＜0等价于
＜
，由此得到不等式继而求出答案．
| f(x) |
| x |
| 1 |
| x |
f(
| ||
|
| f(x) |
| x |
解答：
解：设g（x）=
，则g′（x）=
，
∵f（x）＞xf′（x），
∴xf′（x）-f（x）＜0，
∴g′（x）＜0，
∴g（x）在（0，+∞）为减函数，
∵x2f(
)-f(x)＜0，x＞0，
∴
＜
，
∴g(
)＜g(x)，
∴
＞x，
∴0＜x＜1．
故答案为：{x|0＜x＜1}．
| f(x) |
| x |
| f′(x)x-f(x) |
| x2 |
∵f（x）＞xf′（x），
∴xf′（x）-f（x）＜0，
∴g′（x）＜0，
∴g（x）在（0，+∞）为减函数，
∵x2f(
| 1 |
| x |
∴
f(
| ||
|
| f(x) |
| x |
∴g(
| 1 |
| x |
∴
| 1 |
| x |
∴0＜x＜1．
故答案为：{x|0＜x＜1}．
点评：本题关键是证明g（x）为减函数，然后把要求的不等式变形，利用函数的单调性解决问题．
练习册系列答案
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中，任意取出一个，满足条件；“对任意的正整数j（1≤j≤5），至少存在另一个正整数k（1≤k≤5，且k≠j），使得aj=ak”的概率为（ ）
. |
| a1a2a3a4a5 |
A、
| ||
B、
| ||
C、
| ||
| D、1 |
各项均为实数的等比数列{an}中，a1=1，a5=4，则a3=（ ）
| A、2 | ||
| B、-2 | ||
C、
| ||
D、-
|