题目内容
对任意两个非零的平面向量
和
，定义
o
=
，若平面向量
、
满足|
|≥|
|＞0，
与
的夹角θ∈[0，
]，且
o
和
o
都在集合{
|m∈Z，n∈Z}中．给出下列命题：
①若m=1时，则
o
=
o
=1．
②若m=2时，则
o
=
．
③若m=3时，则
o
的取值个数最多为7．
④若m=2014时，则
o
的取值个数最多为
．
其中正确的命题序号是 （把所有正确命题的序号都填上）
| α |
| β |
| α |
| β |
| ||||
|
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| π |
| 4 |
| a |
| b |
| b |
| a |
| n |
| m |
①若m=1时，则
| a |
| b |
| b |
| a |
②若m=2时，则
| a |
| b |
| 1 |
| 2 |
③若m=3时，则
| a |
| b |
④若m=2014时，则
| a |
| b |
| 20142 |
| 2 |
其中正确的命题序号是
考点：命题的真假判断与应用
专题：综合题,简易逻辑
分析：由新定义可知
o
=
=
，
o
=
=
，再对每个命题进行判断，即可得出结论．
| a |
| b |
| ||||
|
|
| ||
|
|
| b |
| a |
| ||||
|
|
| ||
|
|
解答：
解：①
o
=
=
，
o
=
=
，则
o
=
o
，可得|
|=|
|，∴
o
=
o
=cosθ，∵m=1，θ∈[0，
]，∴
o
=
o
=1，正确；
②若m=2时，则
o
=
=
=
，同理
o
=
=
，相乘得到cos2θ=
，∵θ∈[0，
]，
∴
≤cos2θ≤1，∴
≤
≤1，∴n=1，n′=2或n=2，n′=2，∴
o
=
或1，故不正确．
③若m=3时，则
o
=
=
=
，同理
o
=
=
，相乘得到cos2θ=
，∵θ∈[0，
]，
∴
≤cos2θ≤1，∴
≤
≤1，∴n=1，n′=5，6，7，n=2，n′=3，4，5，6，7，n=3，n′=2，3，4，5，6，7，n=4，n′=2，3，4，5，6，7，n=5，6，6，n′=1，2，3，4，5，6，7，∴
o
的取值个数最多为7，正确．
④若m=2014时，由③的推导方法可知
o
的取值个数最多为
，正确．
故答案为：①③④．
| a |
| b |
| ||||
|
|
| ||
|
|
| b |
| a |
| ||||
|
|
| ||
|
|
| a |
| b |
| b |
| a |
| a |
| b |
| a |
| b |
| b |
| a |
| π |
| 4 |
| a |
| b |
| b |
| a |
②若m=2时，则
| a |
| b |
| ||||
|
|
| ||
|
|
| n |
| 2 |
| b |
| a |
|
| ||
|
|
| n′ |
| 2 |
| nn′ |
| 4 |
| π |
| 4 |
∴
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| nn′ |
| 4 |
| a |
| b |
| 1 |
| 2 |
③若m=3时，则
| a |
| b |
| ||||
|
|
| ||
|
|
| n |
| 3 |
| b |
| a |
|
| ||
|
|
| n′ |
| 3 |
| nn′ |
| 9 |
| π |
| 4 |
∴
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| nn′ |
| 9 |
| a |
| b |
④若m=2014时，由③的推导方法可知
| a |
| b |
| 20142 |
| 2 |
故答案为：①③④．
点评：本题考查命题真假的判断，考查新定义，考查学生分析解决问题的能力，有难度．
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| π |
| 6 |
A、
| ||
B、
| ||
C、-
| ||
D、-
|