Question

已知定义在R上的函数f（x），g（x）满足f（x）g（x）=a^x，且f′（x）g（x）+f（x）•g′（x）＜0，f（1）g（1）+f（-1）g（-1）=

10

3

，若有穷数列{f（n）g（n）}（n∈N^*）的前n项和等于

40

81

，则n等于

 

．

Answer 1

考点：导数的运算,等比数列的前n项和

专题：导数的综合应用

分析：根据函数的单调性和导数之间的关系，求出a的取值范围，然后利用等比数列的前n项和公式即可得到结论．

解答： 解：由（f（x）g（x））′=f′（x）g（x）+f（x）•g′（x）＜0，
即a^xln a＜0，故0＜a＜1．
由f（1）g（1）+f（-1）g（-1）=

10

3

，
得a+

1

a

=

10

3

，解得a=

1

3

，
∴有穷数列{f（n）g（n）}（n∈N^*）是等比数列，其前n项和S_n=

1 3 (1-( 1 3 )n)

1- 1 3

=

40

81

，
得n=4．
故答案为：4．

点评：本题主要考查函数单调性和导数之间的关系，等比数列的前n项和公式的计算，考查学生的计算能力．