题目内容
4．正四面体ABCD中，AB=CD=5，BC=AD=7，AC=BD=8，则外接球表面积为69π．分析 由题意可采用割补法，考虑到四面体ABCD的四个面为全等的三角形，所以可在其每个面补上一个以5，7，8为三边的三角形作为底面，且以分别为x，y，z，长、两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为x，y，z的长方体，由此能求出球的半径，进而求出球的表面积．
解答 解：由题意可采用割补法，考虑到四面体ABCD的四个面为全等的三角形，
所以四面体扩充为一个长、宽、高分别为x，y，z的长方体，且面上的对角线分别为5，7，8，
并且x2+y2=25，x2+z2=49，y2+z2=64，
设球半径为R，则有（2R）2=x2+y2+z2=69，
∴4R2=69，
∴球的表面积为S=4πR2=69π．
故答案为：69π．
点评 本题考查几何体的外接球的表面积的求法，割补法的应用，判断外接球的直径是长方体的对角线的长是解题的关键之一．
练习册系列答案
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