Question

19．如图，四棱锥P-ABCD的底面是菱形，PA⊥平面ABCD，AC=BC，E，F分别是BC，PC的中点．
（1）证明：平面AEF⊥平面PAD；
（2）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为$\frac{\sqrt{6}}{2}$，求二面角F-AE-B的余弦值．

Answer 1

分析 （1）根据面面垂直的判定定理即可得到结论．
（2）建立坐标系，求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可．

解答 解：（1）由四边形ABCD是菱形，AC=BC，可得△ABC为正三角形．∴AE⊥BC．
又∵BC∥AD，∴AE⊥AD             …（1分）
∵PA⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，∴PA⊥AE，∵PA?平面PAD，AD?平面PAD，且PA∩AD=A，
∴AE⊥平面PAD，而AE?平面AEF，
∴平面AEF⊥平面PAD．…（4分）
（2）设AB=2，H为PD上任意一点，连接AH，EH，
由（I）知AE⊥平面PAD，
则∠EHA为EH与平面PAD所成的角．…（5分）
在Rt△EHA中，AE=$\sqrt{3}$，∴当AH最短时，∠EHA最大，即当AH⊥PD时，∠EHA最大，此时tan∠EHA=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．…（6分）
∴AH=$\sqrt{2}$，又AD=2，∴∠ADH=45°，∴PA=2．…（8分）
由（I）知AE，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．
又E，F分别是BC，PC的中点，∴A（0，0，0），B（$\sqrt{3}$，-1，0），C（$\sqrt{3}$，1，0），
D（0，2，0），P（0，0，2），E（$\sqrt{3}$，0，0），F（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$，1）．…（9分）
∴$\overrightarrow{AE}$=（$\sqrt{3}$，0，0），$\overrightarrow{AF}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$，1）．．
设平面AEF的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AE}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AF}=0}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}x=0}\\{\frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{1}{2}y+z=0}\end{array}\right.$   …（10分）
取z=-1，则$\overrightarrow{m}$=（0，2，-1），为平面AEF的一个法向量．
又PA⊥平面ABC，∴$\overrightarrow{n}$=（0，0，1）为平面ABE的一个法向量．
∴cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{-1×1}{\sqrt{5}×1}$=$-\frac{\sqrt{5}}{5}$，
故所求二面角的余弦值为$-\frac{\sqrt{5}}{5}$．…（12分）

点评 本题主要考查面面垂直判定以及二面角的求解，建立空间直角坐标系，利用向量法进行求解，综合性较强，运算量较大．