Question

15．如图，已知PA切⊙O于点A，D为PA的中点，过点D引割线交⊙O于B、C两点．PD=2，PB=3，$DB=\frac{3}{2}$，则PC=4．

Answer 1

分析 根据圆的切割线定理，求出DC、BC的长，再由余弦定理，求出cos∠PBD以及PC的长．

解答 解：∵PA切⊙O于点A，
∴DA²=DB•DC；
又D为PA的中点，PD=2，$DB=\frac{3}{2}$，
∴2²=$\frac{3}{2}$•DC，
解得DC=$\frac{8}{3}$，
∴BC=DC-DB=$\frac{8}{3}$-$\frac{3}{2}$=$\frac{7}{6}$；
在△PBD中，由余弦定理得，
cos∠PBD=$\frac{{PB}^{2}{+DB}^{2}{-PD}^{2}}{2PB•DB}$=$\frac{{3}^{2}{+（\frac{3}{2}）}^{2}{-2}^{2}}{2×3×\frac{3}{2}}$=$\frac{29}{36}$；
在△PBC中，由余弦定理得，
PC²=PB²+CB²-2PB•BCcos∠PBC=3²+${（\frac{7}{6}）}^{2}$-2×3×$\frac{7}{6}$×（-$\frac{29}{36}$）=16，
∴PC=4．
故答案为：4．

点评 本题考查了圆的切割线定理以及余弦定理的灵活应用问题，是综合性题目．