Question

9．已知抛物线y²=8x的准线过双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的左焦点，且被双曲线解得的线段长为6，则双曲线的渐近线方程为y=±$\sqrt{3}$x．

Answer 1

分析 先求出双曲线的左焦点坐标，再利用抛物线y²=8x的准线被双曲线解得的线段长为6，可得$\frac{2{b}^{2}}{a}$=6，借助于c²=a²+b²，求出a，b，即可求出双曲线的渐近线方程．

解答 解：由抛物线y²=8x，可得$\frac{p}{2}$=2，故其准线方程为x=-2，
∵抛物线y²=8x的准线过双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的左焦点，
∴c=2．
∵抛物线y²=8x的准线被双曲线解得的线段长为6，
∴$\frac{2{b}^{2}}{a}$=6，
∵c²=a²+b²，
∴a=1，b=$\sqrt{3}$，
∴双曲线的渐近线方程为y=±$\sqrt{3}$x．
故答案为：y=±$\sqrt{3}$x．

点评 熟练掌握双曲线、抛物线的标准方程及其性质是解题的关键．