Question

14．求函数f（x）=3-2asinx-cos²x的最小值．

Answer 1

分析 利用平方关系化简f（x）的解析式，设t=sinx则t∈[-1，1]，代入原函数转化为关于t的二次函数，利用配方法化简，根据定义域对对称轴a进行分类讨论，分别由二次函数的单调性求出函数的最小值．

解答 解：f（x）=3-2asinx-cos²x=2-2asinx+sin²x，
设t=sinx则t∈[-1，1]，则y=t²-2at+2=（t-a）²+2-a²，
①当a≤-1时，函数y=t²-2at+2在[-1，1]上递增，
∴当t=-1时，函数y取到最小值是：1+2a+2=2a+3，
②当-1＜a＜1时，当t=a时，y的最小值是-a²+2；
③当a≥1时，函数y=t²-2at+2在[-1，1]上递增减，
∴当t=1时，y的最小值是1-2a+2=-2a+3，
综上可得，${y_{min}}=\left\{{\begin{array}{l}{2a+3（a≤-1）}\\{-{a^2}+2（-1＜a＜1）}\\{-2a+3（a≥1）}\end{array}}\right.$．

点评 本题考查正弦函数的性质，平方关系，利用换元法将函数转化为二次函数的问题，考查分类讨论思想．