Question

13．如图，圆O是△ABC的外接圆，PA垂直圆O所在的平面，PA=4，AC=2，Q是圆O上的动点，∠AQC=30°，则四棱锥P-ABQC外接球的表面积为32π．

Answer 1

分析 由题意，确定四边形ABQC的外接圆的直径为4，P-ABQC外接球的球心在过O点，且垂直于圆O所在平面的直线l上，在Rt△AOO′中，利用勾股定理求出R，即可求出P-ABQC外接球的表面积．

解答 解：∵AC=2，Q是圆O上的动点，∠AQC=30°，
∴四边形ABQC的外接圆的直径为4．
由题意，P-ABQC外接球的球心在过O点，且垂直于圆O所在平面的直线l上，
则l∥PA，
设球心为O′，外接圆的半径为R，故O′A=O′P=R，且OO′=$\frac{1}{2}$PA=2．
在Rt△AOO′中，R²=2²+2²=8，
所以P-ABQC外接球的表面积为4πR²=32π．
故答案为：32π．

点评 本题考查P-ABQC外接球的表面积，考查学生的计算能力，确定球心与半径是关键．