Question

7．已知三角形的顶点是A（1，-1，1），B（2，1，-1），C（-1，-1，-2），则这个三角形的面积等于（　　）

• A． $\frac{\sqrt{101}}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{97}}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{103}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{105}}{2}$

Answer 1

分析 由于S_△ABC=$\frac{1}{2}$|AB||AC|sinα，其中α是AB与AC这两条边的夹角．只需要求出两边的长度，用向量求模公式可求，及两向量夹角的正弦，由数量积公式可求，由此三角形面积易求．

解答 解：S_△ABC=$\frac{1}{2}$|AB||AC|sinα，其中α是AB与AC这两条边的夹角．则
S_△ABC=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{AB}$||$\overrightarrow{AC}$|$\sqrt{1-{cos}^{2}α}$=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{AB}$||$\overrightarrow{AC}$|$\sqrt{1-（\frac{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}}{\left|\overrightarrow{AB}\right|\left|\overrightarrow{AC}\right|}）^{2}}$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{\left|\overrightarrow{AB}{|}^{2}\right|\overrightarrow{AC}{|}^{2}-（\overrightarrow{AB}{•\overrightarrow{AC}）}^{2}}$．
∵$\overrightarrow{AB}$=（2，1，-1）-（1，-1，1）=（1，2，-2），
$\overrightarrow{AC}$=（-1，-1，-2）-（1，-1，1）=（-2，0，-3），
∴|$\overrightarrow{AB}$|²=1²+2²+（-2）²=9，
|$\overrightarrow{AC}$|²=（-2）²+0²+（-3）²=13，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=1•（-2）+2•0+（-2）•（-3）=-2+6=4，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$$\sqrt{9×13-{4}^{2}}$=$\frac{\sqrt{101}}{2}$．
故选：A．

点评 本题考查空间向量求直线间的夹角与距离，利用向量的模求距离，求角是向量的重要运用．