Question

15．如图，四棱锥E-ABCD中，平面ABE⊥平面ABCD，侧面ABE是等腰直角三角形，EA⊥EB，底面ABCD是直角梯形，且AB∥CD，AB⊥BC，AB=2CD=2BC=2，
（1）求证：AB⊥DE；
（2）求三棱锥C-BDE的体积；
（3）若点F是线段EA上一点，当EC∥平面FBD时，求EF的长．

Answer 1

分析 （1）取AB中点O，连结EO，DO．推出EO⊥AB．AB⊥BC，证明AB⊥平面EOD．即可证明AB⊥ED．
（2）利用体积转化V_C-BDE=V_E-CBD求解即可．
（3）连接AC、BD交于点，推出EC∥FM．通过△DMC与△BMA相似，然后求解EF即可．

解答 解：（1）证明：取AB中点O，连结EO，DO．
因为EB=EA，所以EO⊥AB．

因为四边形ABCD为直角梯形，AB=2CD=2BC，AB⊥BC，
所以四边形OBCD为正方形，所以AB⊥OD．
所以AB⊥平面EOD．     
所以 AB⊥ED．
（2）由EO⊥AB，面ABE⊥面ABCD，易得EO⊥ABCD，
所以，${V_{C-BDE}}={V_{E-CBD}}=\frac{1}{3}×（2×1×1）×1=\frac{1}{6}$．
（3）解：连接AC、BD交于点M，面ACE∩面FBD=FM．
因为EC∥平面FBD，所以EC∥FM．
在梯形ABCD中，有△DMC∽△BMA，可得MA=2MC，∴AF=2FE，

所以，$EF=\frac{1}{3}EA=\frac{{\sqrt{2}}}{3}$．

点评 本题考查几何体的体积的求法，平面与直线垂直判定定理以及性质定理定义域，直线与平面平行的判定定理的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力、转化思想的应用．