Question

12．已知m∈R，直线l：mx-（m²+1）y=4m和圆C：x²+y²-8x+4y+16=0．
（1）求直线l的斜率的取值范围；
（2）直线l能否将圆C分割成弦长的比值为1：2的两段圆弧？若能，求出直线l的方程；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）写出直线的斜率利用判别式求最值；
（2）直线与圆相交，注意半径、弦心距、弦长的一半构成的直角三角形，确定圆C截直线l所得的弦所对的圆心角小于$\frac{2π}{3}$，即可得出结论．

解答 解：（1）直线l的方程可化为y=$\frac{m}{{m}^{2}+1}$x-$\frac{4m}{{m}^{2}+1}$，斜率k=$\frac{m}{{m}^{2}+1}$，
即km²-m+k=0，k=0时，m=0成立；
又∵△≥0，∴1-4k²≥0，
所以，斜率k的取值范围是[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]．
（2）不能．由（1）知l的方程为y=k（x-4），其中|k|≤$\frac{1}{2}$；
圆C的圆心为C（4，-2），半径r=2；圆心C到直线l的距离d=$\frac{2}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$
由|k|≤$\frac{1}{2}$，得d≥$\frac{4}{\sqrt{5}}$＞1，即d＞$\frac{r}{2}$，
从而，若l与圆C相交，则圆C截直线l所得的弦所对的圆心角小于$\frac{2π}{3}$，
所以l不能将圆C分割成弧长的比值为1：2的两段弧．

点评 本题考查直线与圆及不等式知识的综合应用，考查点到直线的距离公式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．