Question

已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2．从这个圆上任意一点P向x轴作垂线段PP′，求线段PP′中点M的轨迹．

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：写出点P所在圆的方程，设出M、P的坐标，由中点坐标公式把P的坐标用M的坐标表示，把P的坐标代入圆的方程后整理得线段PP′中点M的轨迹．

解答： 解：由题意可得已知圆的方程为x²+y²=4．
设点M的坐标为（x，y），点P的坐标为（x₀，y₀），
∵M是线段PP′的中点，
∴由中点坐标公式得x=x₀，y=

y0

2

，
即x₀=x，y₀=2y．
∵P（x₀，y₀）在圆x²+y²=4上，
∴x02+y02=4  ①
将x₀=x，y₀=2y代入方程①得
x²+4y²=4，即

x2

4

+y2=1．
∴点M的轨迹是一个椭圆．

点评：本题考查了轨迹方程的求法，训练了利用代入法求曲线方程，是中档题．