Question

已知数列{a_n}的通项公式为a_n=pn+q，其中p，q是常数，且p≠0．
（Ⅰ）数列{a_n}是否一定是等差数列？如果是，其首项与公差是什么？
（Ⅱ）设数列{a_n}的前n项和为S_n，且S₁₀=310，S₂₀=1220，试确定a_n的公式．

Answer 1

考点：等差数列的性质,等差数列的前n项和

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）直接由a_n+1-a_n为常数判断数列{a_n}是等差数列，并求得公差，在通项公式中取n=1求得首项；
（Ⅱ）把数列的前n项和用含有p和q的代数式表示，代入S₁₀=310，S₂₀=1220求解p，q的值，则数列的通项公式可求．

解答： 解：（Ⅰ）∵a_n=pn+q，
∴a_n+1-a_n=[p（n+1）+q]-（pn+q）=pn+p+q-pn-q=p，
∴{a_n}是等差数列，且公差为p．
在通项公式中令n=1，得a₁=p+q，
∴这个等差数列的首项是p+q，公差是p；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知{a_n}是等差数列，S₁₀=310，S₂₀=1220，将它们代入公式Sn=

n(a1+an)

2

=

n[(p+q)+(pn+q)]

2

=

n(pn+p+2q)

2

，
得

5(11p+2q)=310 10(21p+2q)=1 220.

⇒

p=6 q=-2.

∴a_n=6n-2．

点评：本题主要考查了等差数列的性质，通过对等差数列的研究，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯，要熟练记忆等差数列的通项公式和求和公式，是中档题．