Question

7．已知函数f（x）=x²+2ax+2．
（1）若方程f（x）=0有两不相等的正根，求a的取值范围；
（2）若函数f（x）对任意x∈R都有f（x）=f（2-x）成立，且对任意x∈（0，3）都有不等式f（x）＜2x+m恒成立，求实数m的取值范围；
（3）设g（a）是f（x）在x∈[-5，5]的最小值，求g（a）的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用根与系数的关系列出不等式组解出；
（2）由f（x+1）=f（1-x）可以求出a=-1，再结合二次函数的图象与性质求解；
（3）讨论f（x）在[-5，5]上的单调性求出最小值，从而求出g（a）的表达式，进而求出g（a）的最大值即可．

解答 解：（1）设方程x²+2ax+2=0的两根为x₁，x₂，
则 $\left\{\begin{array}{l}{△={4a}^{2}-8＞0}\\{{x}_{1}{+x}_{2}=-2a＞0}\\{{{x}_{1}x}_{2}=2＞0}\end{array}\right.$，解得：a＜-$\sqrt{2}$．
（2）由题意得：x²+2ax+2=（2-x）²+2a（2-x）+2，
即4（1+a）x=0对任意x∈R恒成立，
∴a=-1．∴f（x）=x²-2x+2，
若对任意x∈（0，3）都有不等式f（x）＜2x+m恒成立，
即对任意x∈（0，3）都有不等式m＞x²-4x+2恒成立，
而y=x²-4x+2=（x-2）²-2在（0，3）上，
当x=0时取得最大值2，
故m＞2；
（3）f（x）=（x+a）²+2-a²
f（x）图象的对称轴为x=-a，
当-a＜-5，即a＞5时，f（x）在[-5，5]上是增函数，
∴f_min（x）=f（-5）=27-10a．
当-5≤-a≤5，即-5≤a≤5时，f（x）min=f（-a）=2-a2．
当-a＞5，即a＜-5时，f（x）在[-5，5]上是减函数，
∴f_min（x）=f（5）=27+10a．
综上所述：当a＞5时，f_min（x）=27-10a；
当-5≤a≤5时，f_min（x）=2-a²；
当a＜-5时，f_min（x）=27+10a；
即g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{27-10a，a＞5}\\{2{-a}^{2}，-5≤a≤5}\\{27+10a，a＜-5}\end{array}\right.$，
故a=0时，g（a）最大，最大值是2．

点评 本题考查二次方程根的分布，二次函数的图象与性质．考查数形结合、分类讨论、计算能力．