Question

16．已知抛物线E：x²=4y，过M（1，4）作抛物线E的弦AB，使弦AB以M为中点，
（1）求弦AB所在直线的方程．
（2）若直线l：y=x+b与抛物线E相切于点P，求以点P为圆心，且与抛物线E的准线相切的圆的方程．

Answer 1

分析 （1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用平方差法，求出直线的斜率，然后求解直线方程．
（2）利用函数的导数求出曲线的斜率，求出切点坐标，得到圆的圆心坐标，求出圆的半径，即可求解圆的方程．

解答 解：（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
抛物线E：x²=4y，过M（1，4）作抛物线E的弦AB，使弦AB以M为中点
由$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}}^{2}{=4y}_{1}\\{{x}_{2}}^{2}{=4y}_{2}\end{array}\right.$，两式相减化简得K_AB=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{1}{2}$，
所以直线AB的方程为y-4=$\frac{1}{2}$（x-0），即x-2y+7=0．
（2）设切点P（x₀，y₀），
由x²=4y，得y′=$\frac{x}{2}$，所以$\frac{{x}_{0}}{2}$=1，
可得x₀=2，即点P（2，1），
圆P的半径为2，所以圆P的方程为：（x-2）²+（y-1）²=4．

点评 本题考查抛物线的简单性质，考查运算求解能力，平方差法以及设而不求方法的应用，注意解题方法的积累，属于中档题．