Question

17．已知f（x）=（1+a^x）²•a^-x（a＞0且a≠1）．
（1）判断函数的奇偶性；
（2）讨论函数的单调性，并求值域．

Answer 1

分析 （1）首先将函数化简，然后根据奇偶函数定义，判断f（x）与f（-x）的关系即可；
（2）经化简后发现f（x）非初等函数，且含有字母常量a，所以应利用导数的方法研究函数单调性比较简单一些，然后根据单调性求出值域．

解答 解：（1）化简f（x）得λf（x）=（1+a^x）²•a^-x=（a^2x+2a^x+1）•a^-x=a^x+a^-x+2；
∴f（x）=a^x+a^-x+2，f（-x）=a^-x+a^-（-x）+2，即f（x）=f（-x），
故函数f（x）为偶函数；
（2）函数f（x）=a^x+a^-x+2的定义域为R，
∴f′（x）=a^x•lna-a^-x•lna，∴f′（x）=0即a^x•lna-a^-x•lna=0有解为x=0；
由于f′（x）=a^x•lna-a^-x•lna=（a^x-a^-x）•lna，讨论如下：
①当0＜a＜1时，f′（x）在（-∞，0）上小于0，故f（x）在（-∞，0）为单调减函数；
f′（x）在[0，+∞）上大于等于0，故f（x）在[0，+∽）为单调增函数；
②当a＞1时，f′（x）在（-∞，0）上小于0，故f（x）在（-∞，0）为单调减函数；
f′（x）在[0，+∞）上大于等于0，故f（x）在[0，+∞）为单调增函数；
综上所述：f（x）在（-∞，0）单调递减，在[0，+∞）单调递增；
∴函数在x=0时有最小值f（0）=4，
故函数值域为[4，+∞）．

点评 此题考察利用导数研究函数单调性的内容，需要注意的是其含有字母常量a，所以在判断其导数与0的关系时应谨慎．