Question

已知椭圆E：

x2

100

+

y2

25

=1的上顶点为A，直线y=-4交椭圆E于点B，C（点B在点C的左侧），点P在椭圆E上．
（Ⅰ）求以原点O为顶点，椭圆的右焦点为焦点的抛物线的方程；
（Ⅱ）求以原点O为圆心，与直线AB相切的圆的方程；
（Ⅲ）若四边形ABCP为梯形，求点P的坐标．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）由题意设出抛物线方程，由椭圆方程求得椭圆的右焦点坐标，代入抛物线方程求得P，则抛物线方程可求；
（Ⅱ）由椭圆方程求得上顶点A的坐标，把y=-4代入椭圆方程求出B，C的坐标，求出直线AB的方程，由原点O到直线AB的距离得到所求圆的半径，则圆的方程可求；
（Ⅲ）由题意可知，要使四边形ABCP为梯形，当且仅当CP∥AB，由此求出CP的方程，和椭圆联立求得P点的坐标．

解答： 解：（Ⅰ）设此抛物线的方程为y²=2px，
由椭圆E：

x2

100

+

y2

25

=1，
得椭圆的右焦点为(5

3

，0)，
∴

p

2

=5

3

，即p=10

3

．
∴此抛物线的方程为y2=20

3

x；
（Ⅱ）由条件知：A（0，5），B（-6，-4），
∴kAB=

3

2

．
∴直线AB的方程：y=

3

2

x+5，即3x-2y+10=0．
∴O到直线AB的距离为

|10|

32+(-2)2

=

10 13

13

，即圆半径r=

10 13

13

．
∴以原点O为圆心，与直线AB相切的圆的方程x2+y2=

100

13

；
（Ⅲ）要使四边形ABCP为梯形，当且仅当CP∥AB，
∴kCP=kAB=

3

2

．
∴直线CP的方程为y+4=

3

2

(x-6)，即y=

3

2

x-13．
把y=

3

2

x-13代入

x2

100

+

y2

25

=1，得：5x²-78x+288=0．
解得：x=6或x=

48

5

．
∴P(

48

5

，

7

5

)．

点评：本题考查抛物线方程的求法，考查直线与抛物线的位置关系的应用，训练了点到直线的距离公式，考查了两直线平行的条件，是中档题．