Question

某校从高一年级学生中随机抽取40名学生作为样本，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：[40，50），[50，60），[90，100）后得到如图的频率分布直方图．

（Ⅰ）求图中实数a的值；
（Ⅱ）若该校高一年级共有学生500人，试估计该校高一年级在考试中成绩不低于60分的人数；
（Ⅲ）若从样本中数学成绩在[40，50）与[90，100]两个分数段内的学生中随机选取两名学生，试用列举法求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率．

Answer 1

考点：频率分布直方图,古典概型及其概率计算公式

专题：图表型,概率与统计

分析：（I）根据频率=小矩形的高×组距，利用数据的频率之和为1求得a值；
（II）由频率分布直方图求得数学成绩不低于60分的概率，利用频数=样本容量×频率计算；
（III）用列举法写出从第一组和第六组6名学生中选两名学生的所有结果，从中找出数学成绩之差的绝对值不大于10的结果，利用个数之比求概率．

解答： 解：（Ⅰ）根据数据的频率之和为1，得0.05+0.1+0.2+10a+0.25+0.1=1，
∴a=0.03；

（Ⅱ）数学成绩不低于60分的概率为：0.2+0.3+0.25+0.1=0.85，
∴数学成绩不低于60分的人数为500×0.85=425人        
（Ⅲ）数学成绩在[40，50）的学生人数：40×0.005×10=2人，
数学成绩在[50，60）的学生人数：40×0.01×10=4人，
设数学成绩在[40，50）的学生为A，B；
数学成绩在[90，100）的学生为a，b，c，d；
从6名学生中选两名学生的结果有：{A，B}，{A，a}，{A，b}，{A，c}，{A，d}，{B，a}，{B，b}，{B，c}，{B，d}，{a，b}，{a，c}，{a，d}，{b，c}，{b，d}，{c，d}．共15种；
其中两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的情况有：{A，B}，{a，b}，{a，c}，{a，d}，{b，c}，{b，d}，{c，d}共7种；
∴抽取的两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率为

7

15

．

点评：本题主要是考查了直方图以及古典概型概率的计算，在频率分布直方图中频率=小矩形的面积=小矩形的高×组距，用列举法写出所有基本事件是求古典概型概率的常用方法．．