Question

18．已知函数f（x）=ax³+bx²-3x+d在x=±1处取得极值．
（1）判断f（1）和f（-1）是函数y=f（x）的极大值还是极小值，并说明理由；
（2）若函数y=f（x）有三个零点，求d的取值范围．

Answer 1

分析 通过求导，利用±1为极值点可知a=1，b=0，进而可知f′（x）=3x²-3，f（x）=x³-3x+d．
（1）通过列表展示函数f（x）的单调性可得结论；
（2）通过（1）可知只需极大值大于零、极小值小于零即可．

解答 解：∵f（x）=ax³+bx²-3x+d，
∴f′（x）=3ax²+2bx-3，
又∵f（x）在x=±1处取得极值，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f′（1）=0}\\{f′（-1）=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{3a+2b-3=0}\\{3a-2b-3=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=0}\end{array}\right.$，
∴f′（x）=3x²-3，f（x）=x³-3x+d．
（1）列表如下：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↑	2+d	↓	-2+d	↑

由表可知，f（1）是函数y=f（x）的极小值，f（-1）是函数y=f（x）的极大值；
（2）由（1）可知，函数y=f（x）有三个零点等价于$\left\{\begin{array}{l}{f（-1）=2+d＞0}\\{f（1）=-2+d＜0}\end{array}\right.$，
解得：-2＜d＜2，
故d的取值范围是（-2，2）．

点评 本题考查导数的应用，考查导数为零的点与极值点的关系，注意解题方法的积累，属于基础题．