Question

3．若函数f（x）=ax³-bx+2，当x=1时，函数f（x）取极值0．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若关于x的方程f（x）=k有三个零点，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，利用函数的极值点以及极值，求解a，b即可．
（2）求出函数的极值点判断函数的单调性，推出函数的极值，然后求解k的范围．

解答 解　（1）由题意可知f′（x）=3ax²-b．
$\left\{\begin{array}{l}f（1）=0\\ f'（1）=0\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}a=1\\ b=3\end{array}\right.$
故所求的函数解析式为f（x）=x³-3x+2．
（2）由（1）可知f′（x）=3x²-3=3（x-1）（x+1）．
令f′（x）=0得x=1或x=-1，
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表所示：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	单调递增	极大值	单调递减	极小值	单调递增

因此，当x=-1时，f（x）有极大值4，
当x=1时，f（x）有极小值0，
故实数k的取值范围为（0，4）．

点评 本题考查函数的导数的综合应用，函数的极值以及单调性的判断，考查转化思想以及计算能力．