题目内容
9．设{an}是公差不为零的等差数列，满足a6=5，a22+a32=a42+a52，数列{bn}的通项公式为bn=3n-11（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若从数列{an}，{bn+4}中按从小到大的顺序取出相同的项构成数列{Cn}，直接写出数列{Cn}的通项公式；
（3）记dn=$\frac{b_n}{a_n}$，是否存在正整数m，n（m≠n≠5），使得d5，dm，dn成等差数列？若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由．
分析 （1）设公差为d，通过$a_2^2-a_5^2=a_4^2-a_3^2$，以及a6=5，求出a1=-5，d=2，然后求解{an}的通项公式．
（2）求出数列{Cn}，首项为7，公差为6，写出结果即可．
（3）假设存在正整数m、n，使得d5，dm，dn成等差数列，推出${d_n}=\frac{3n-11}{2n-7}$，利用等差中项，得：2m=13-$\frac{9}{n-2}$，求出m，n的值即可．
解答 解：（1）设公差为d，则$a_2^2-a_5^2=a_4^2-a_3^2$，由性质得$-3d（a_4^{\;}+a_3^{\;}）=d（a_4^{\;}+a_3^{\;}）$，
因为d≠0，所以$a_4^{\;}+a_3^{\;}=0$，即2a1+5d=0，又由a6=5得a1+5d=5，解得a1=-5，d=2，
所以{an}的通项公式为an=2n-7…（5分）
（2）数列{bn}的通项公式为bn=3n-11，{an}的通项公式为an=2n-7，
所以从数列{an}，{bn+4}中按从小到大的顺序取出相同的项构成数列{Cn}，首项为7，公差为6，
所以Cn=6n+1…（10分）
（3），假设存在正整数m、n，使得d5，dm，dn成等差数列，则d5+dn=2dm．${d_n}=\frac{3n-11}{2n-7}$
所以$\frac{4}{3}$+$\frac{3n-11}{2n-7}$=$2×\frac{3m-11}{2m-7}$，化简得：2m=13-$\frac{9}{n-2}$．…（13分）
当n-2=-1，即n=1时，m=11，符合题意；当n-2=1，即n=3时，m=2，符合题意
当n-2=3，即n=5时，m=5（舍去）； 当n-2=9，即n=11时，m=6，符合题意．
所以存在正整数m=11，n=1；m=2，n=3；m=6，n=11
使得b2，bm，bn成等差数列．…（16分）
点评 本题考查数列的应用，数列与函数相结合，考查转化思想以及计算能力．
| A． | $\frac{1}{12}$ | B． | $\frac{1}{6}$ | C． | $\frac{2}{5}$ | D． | $\frac{1}{3}$ |
| A． | （$\frac{4}{5}$，-$\frac{2}{5}$） | B． | （-$\frac{2}{5}$，$\frac{4}{5}$） | C． | （$\frac{4}{5}$，$\frac{2}{5}$） | D． | （$\frac{2}{5}$，-$\frac{4}{5}$） |