Question

12．在直角坐标系xOy中，圆C：x²+y²+4x-2y+m=0与直线x-$\sqrt{3}$y+$\sqrt{3}$-2=0相切．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）若圆C上有两点M，N关于直线x+2y=0对称，且|MN|=2$\sqrt{3}$，求直线MN的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用圆心到直线的距离d=r，求出半径，即可求圆C的方程；
（Ⅱ）若圆C上有两点M，N关于直线x+2y=0对称，则设方程为2x-y+c=0，利用|MN|=2$\sqrt{3}$，可得圆心到直线的距离d=$\sqrt{4-3}$=1，即可求直线MN的方程．

解答 解：（Ⅰ）圆C：x²+y²+4x-2y+m=0，可化为（x+2）²+（y-1）²=5-m，
∵圆C：x²+y²+4x-2y+m=0与直线x-$\sqrt{3}$y+$\sqrt{3}$-2=0相切，
∴圆心到直线的距离d=$\frac{4}{\sqrt{1+3}}$=2=r，
∴圆C的方程为（x+2）²+（y-1）²=4；
（Ⅱ）若圆C上有两点M，N关于直线x+2y=0对称，则设方程为2x-y+c=0，
∵|MN|=2$\sqrt{3}$，
∴圆心到直线的距离d=$\sqrt{4-3}$=1，
∴$\frac{|-4-1+c|}{\sqrt{5}}$=1，
∴c=5±$\sqrt{5}$，
∴直线MN的方程为2x-y+5±$\sqrt{5}$=0．

点评 本题考查直线与圆的方程，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，属于中档题．