Question

4．已知F₁，F₂分别是双曲线Γ；$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左右焦点，O为双曲线Γ的对称中心，M，N分别在双曲线Γ的两条渐近线上，∠MF₂O=∠MNO=90°，若NF₂∥OM，则双曲线r的渐近线方程为（　　）

• A． y=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$x
• B． y=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$x
• C． y=±$\sqrt{2}$x
• D． y=±$\sqrt{3}$x

Answer 1

分析 求出M，N的坐标，可得直线的斜率，利用∠MNO=90°，可得$\frac{\frac{3bc}{2a}}{\frac{c}{2}}$•（-$\frac{b}{a}$）=-1，即可求出双曲线的渐近线方程．

解答 解：由题意，M（c，$\frac{bc}{a}$），
NF₂的方程为y=$\frac{b}{a}$（x-c），与y=-$\frac{b}{a}$x联立，可得N（$\frac{c}{2}$，-$\frac{bc}{2a}$），
∵∠MNO=90°，
∴$\frac{\frac{3bc}{2a}}{\frac{c}{2}}$•（-$\frac{b}{a}$）=-1，
∴$\frac{b}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴双曲线的渐近线方程为y=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
故选：A．

点评 本题考查双曲线的渐近线方程，考查两条直线垂直的运用，属于中档题．