Question

已知直线l：x-

3

y+1=0，一个圆的圆心C在x轴正半轴上，且该圆与直线l和y轴均相切．
（1）求该圆的方程；
（2）若直线：mx+y+

1

2

m=0与圆C交于A，B两点，且|AB|=

3

，求m的值．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系,圆的标准方程

专题：计算题,直线与圆

分析：（1）设出圆心c（a，0），a＞0，根据半径r的几何关系进行判断，从而求出半径r，即可得到圆的方程；
（2）由圆的方程找出圆心坐标和半径r，再利用点到直线的距离公式表示出圆心到已知直线的距离d，由圆的性质得到弦的一半，弦心距及圆的半径构成直角三角形，由求出的d，圆的半径r，以及|AB|的一半，利用勾股定理列出关于m的方程，求出方程的解即可得到m的值．

解答： 解：（1）设圆心c（a，0），a＞0，半径为r，
∵该圆与直线l和y轴均相切，
∴

|a+1|

1+3

=a，
∵a＞0，
∴a=1，
∴圆的方程为（x-1）²+y²=1
（2）由圆的方程找出圆心坐标为（1，0），半径r=1，
所以圆心到直mx+y+

1

2

m=0的距离d=

| 3 2 m|

m2+1

，
根据勾股定理得(

3

2

)2+（

| 3 2 m|

m2+1

）²=1，解得：m=±

2

4

．

点评：此题主要考查圆的切线的方程，考查了直线与圆相交的性质，点到直线的距离公式及勾股定理，直线与圆相交时，往往根据弦心距，弦的一半及圆的半径构成的直角三角形，利用勾股定理解决问题．