题目内容
（1）已知a＞0，b＞0，求证：a3+b3≥a2b+ab2
（2）已知a＞0，b＞0且
+
=1，求证a+2b≥18．
（2）已知a＞0，b＞0且
| 8 |
| a |
| 1 |
| b |
考点：不等式的证明
专题：选作题,不等式
分析：（1）本题可用分析法与综合法来解答：法一，分析法：证明使a3+b3≥a2b+ab2成立的充分条件成立．
法二，综合法：由a2-2ab+b2≥0，通过变形，应用不等式的性质可证出结论．
（2）进行的“1”的代换，从而使得等式得左端符合了积为定值．
法二，综合法：由a2-2ab+b2≥0，通过变形，应用不等式的性质可证出结论．
（2）进行的“1”的代换，从而使得等式得左端符合了积为定值．
解答：
证明：（1）法一：（分析法）要证a3+b3≥a2b+ab2 成立，
只需证（a+b）（a2-ab+b2）≥ab（a+b）成立．
又因为a＞0，b＞0，故只需证a2-ab+b2≥ab成立，即证（a-b）2≥0成立，
（a-b）2≥0显然成立，由此命题得证．
法二：（综合法）∵a2-2ab+b2≥0，∴a2-ab+b2≥ab（*）．
而a，b均为正数，∴a+b＞0，∴（a+b）（a2-ab+b2）≥ab（a+b）
∴a3+b3≥a2b+ab2 成立．
（2）∵a＞0，b＞0且
+
=1，
∴a+2b=（a+2b）（
+
）=10+
+
≥10+2
=18，
当且仅当a=4b时取等号．
只需证（a+b）（a2-ab+b2）≥ab（a+b）成立．
又因为a＞0，b＞0，故只需证a2-ab+b2≥ab成立，即证（a-b）2≥0成立，
（a-b）2≥0显然成立，由此命题得证．
法二：（综合法）∵a2-2ab+b2≥0，∴a2-ab+b2≥ab（*）．
而a，b均为正数，∴a+b＞0，∴（a+b）（a2-ab+b2）≥ab（a+b）
∴a3+b3≥a2b+ab2 成立．
（2）∵a＞0，b＞0且
| 8 |
| a |
| 1 |
| b |
∴a+2b=（a+2b）（
| 8 |
| a |
| 1 |
| b |
| a |
| b |
| 16b |
| a |
|
当且仅当a=4b时取等号．
点评：本题主要考查用分析法和综合法证明不等式，此题还可用比较法证明，体会不同方法间的区别联系，属于中档题．解题中要注意配凑基本不等式成立的条件，解题本题的关键是进行的“1”的代换，从而使得等式得左端符合了积为定值．
练习册系列答案
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