Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx．
（1）若函数f（x）的最小值为f（-1）=-1，F（x）=

f(x)， x＞0 -f(x)， x＜0

，求F（x）的单调区间；
（2）若a=1，且f（x）≤1在区间（0，1]上恒成立，试求b的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）结合二次函数的性质得到方程组解出a，b的值即可；
（2）将问题转化为b≤-x+

1

x

在（0，1]恒成立，令g（x）=-x+

1

x

，得到g（x）在（0，1]递减，求出g（x）的最小值，从而求出b的范围．

解答： 解：（1）∵f（x）的最小值为f（-1）=-1，
∴

f(-1)=a-b=-1 - b 2a =-1

，解得：

a=1 b=2

，
∴f（x）=x²+2x，
∵F（x）=

f(x)， x＞0 -f(x)， x＜0

，
∴F（x）=|f（x）|，
画出函数F（x）的图象，如图示：
，
∴F（x）在（-∞，-2）递减，在（-2，-1）递增，
在（-1，0）递减，在（0，+∞）递增；
（2）当a=1时，f（x）=x²+bx，
由f（x）≤1在区间（0，1]上恒成立，
得x²+bx-1≤0在（0，1]上恒成立，
即：b≤-x+

1

x

在（0，1]恒成立，
令g（x）=-x+

1

x

，则g′（x）=-1-

1

x2

＜0，
∴g（x）在（0，1]递减，∴g（x）_min=g（1）=0，
∴b≤0．

点评：本题考查了二次函数的性质，考查了函数恒成立问题，考查了转化思想，是一道中档题．