Question

图（1）是长方体截去一个角后得到的几何体，其中底面ABCD是正方形，H为AG中点，图（2）是该几何体的侧视图．

（Ⅰ）判断两直线EH与CD的位置关系，并给予证明；
（Ⅱ）求直线EH与平面BCFE所成角的大小．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）判断两直线EH与CD是相交直线，证明：说明H、D、C、E四点共面，HD∥CE，HD≠CE推出结果；
（Ⅱ）以D为原点，分别以DA、DC、DG为x、y、z轴，建立空间直角坐标系．求出平面BCFE的一个法向量是

DC

=(0，2

3

，0)，记直线EH与平面BCFE所成角为θ，利用向量的数量积即可求解直线EH与平面BCFE所成角的大小．

解答： 解：（ I）直线EH和CD是相交直线．…（1分）
证明：连结HD，FB，CE，设FB与CE相交于点O，连结HO（如图1）
则四边形HDCO是平行四边形…（2分）
∴HD∥CO且HD=CO，∴HD∥CE且HD=

1

2

CE，
∴H、D、C、E四点共面…（4分）
又∵HD≠CE，
∴HE与CD必相交…（6分）
（ II）由长方体的性质知，DA，DC，DG两两垂直，如图，以D为原点，分别以DA、DC、DG为x、y、z轴，建立空间直角坐标系．…（7分）
又由侧视图知：|BC|=2

3

，|CF|=2…（9分）
∴相关各点坐标为：D（0，0，0），A(2

3

，0，0)，B(2

3

，2

3

，0)，C(0，2

3

，0)，E(2

3

，2

3

，2)，F(0，2

3

，2)，G（0，0，2），H(

3

，0，1)，
∴

HE

=(

3

，2

3

，1)，…（10分）
又平面BCFE的一个法向量是

DC

=(0，2

3

，0)
记直线EH与平面BCFE所成角为θ
∵

HE

•

DC

=

3

•0+2

3

•2

3

+1•0=12，|

HE

|=4，|

DC

|=2

3

，
∴sinθ=|

HE • DC

| HE |•| DC |

|=

12

4•2 3

=

3

2

…（12分）
又∵θ∈[0，

π

2

]，∴θ=

π

3

…（13分）
∴直线EH与平面BCFE所成角为

π

3

．…（14分）

图1                   图2

点评：本题考查平面的基本性质的应用，直线与平面所成角的求法，向量法的应用，考查空间想象能力计算能力．