题目内容

在椭圆中，称过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆所截得的弦为椭圆的“通径”．已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，其离心率为
1
2
，通径长为3．
（1）求椭圆C的方程；
（2）如图所示，过点F1的直线与椭圆交于A、B两点，I1、I2分别为△F1BF2、△F1AF2的内心，延长BF2与椭圆交于点M，求四边形F1I2F2I1的面积与△AF2B的面积的比值；
（3）在x轴上是否存在定点P，使得
PM
•
PB
为定值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题
专题：圆锥曲线中的最值与范围问题
分析：（1）由题意可知：e=
c
a
=
1
2
，通径为2
b2
a
=3，由此能求出椭圆C的方程．
（2）由于I1、I2分别为△F1BF2、△F1AF2的内心，根据内心的性质和等面积法，得点△F1BF2内切圆的半径r1=
S△F1BF2
1
2
(F1B+F1F2+F2B)
=
S△F1BF2
a+c
，点△F1AF2内切圆的半径r2=
S△F1AF2
1
2
(F1B+F1F2+F2B)
=
S△F1AF2
a+c
，由此能求出四边形F1I2F2I1的面积与△AF2B的面积的比值．
（3）若存在点P，使得
PM
，
PB
为定值，设点P（x0，0），lBM的方程为y=k（x-1），联立
x2
4
+
y2
3
=1
y=k(x-1)
，得（4k2+3）x2-8k2x+4k2-12=0，由此利用韦达定理结合已知条件能求出
PM
•
PB
为定值-
135
64
．
解答： 解：（1）由题意可知：e=
c
a
=
1
2
，通径为2
b2
a
=3，
解得：a=2，b=
3

故椭圆C的方程为：
x2
4
+
y2
3
=1．（3分）
（2）由于I1、I2分别为△F1BF2、△F1AF2的内心，
根据内心的性质和等面积法可知：
点△F1BF2内切圆的半径r1=
S△F1BF2
1
2
(F1B+F1F2+F2B)
=
S△F1BF2
a+c
，
同理可得：点△F1AF2内切圆的半径：
r2=
S△F1AF2
1
2
(F1B+F1F2+F2B)
=
S△F1AF2
a+c
，（5分）
∴四边形F1I2F2I1的面积与△AF2B的面积的比值：
SF1I2F1I1
S△AF1B
=
SF1I1F2+SF1I2F2
S△F1BE+S△F1AF2

=
1
2
(r1+r2)•2c
S△F1BF1+S△F1AF2
=
c
a+c
=
1
3
．
（3）若存在点P，使得
PM
，
PB
为定值，设点P（x0，0），
若直线BM的斜率不存在，lBM的方程为：x=1，B（1，
3
2
），M（1，-
3
2
），
则
PM
•
PB
=（x0-1）2-
9
4
，
若直线BM的斜率存在，lBM的方程为y=k（x-1），
点B（x1，y1），点M（x2，y2），
联立
x2
4
+
y2
3
=1
y=k(x-1)
，得（4k2+3）x2-8k2x+4k2-12=0，
根据韦达定理可得：x1+x2=
8k2
4k2+3
，x1x2=
4k2-12
4k2+3
，
由于
PM
=(x2-x0，y2)，
PB
=(x1-x0，y1)
则
PM
•
PB
=x1x2-(x1+x2)x0+
x
2
0
+y1y2=(k2+1)x1x2-(x0+k2)(x1+x2)+k2+
x
2
0
，
整理可得：
(4
x
2
0
-8x0-5)k2+3
x
2
0
-12
4k2+3
=λ（λ为常数），（10分）
则(4
x
2
0
-8x0-5-4λ)k2+3
x
2
0
-12-3λ=0对?k∈R恒成立，
故
4x02-8x0-5-4λ=0
3x02-12-3λ=0
，解得
x0=
11
8
λ=-
135
64
，（12分）
经验证直线BM的斜率不存在时，
PM
•
PB
=（x0-1）2-
9
4
=-
135
64
，
∴存在点P（
11
8
，0），使得
PM
•
PB
=（x0-1 ）2-
9
4
=-
135
64
，
∴存在点P（
11
8
，0），使得
PM
•
PB
为定值-
135
64
．（13分）
点评：本题考查椭圆方程的求法，考查四边形与三角形面积比值的求法，考查向量的数量积为定值的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．
练习册系列答案
相关题目
（1）tan405°-sin450°+cos750°+sin240°
（2）计算
lg5•lg8000+(lg2
3
)2
lg600-
1
2
lg36-
1
2
lg0.01
．
设椭圆E：
x2
a2
+
y2
1-a2
=1的焦点在x轴上，若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程．
已知Rt△ABC中（如图1），AB⊥AC，AB=4，∠ACB=30°，AD⊥BC，沿AD折叠，使得折叠后∠BDC=90°，如图2所示．
（1）求证：AD⊥平面BDC
（2）求三棱锥A-BDC的体积．
全集U=R，集合A={x|-1≤x＜3}，B={x|2＜x≤5}，
求：（1）A∩B；（2）A∪B；（3）（∁UA）∩B．
若函数f（x）=loga（x+
a
x
-4）（a＞0，且a≠1）的值域为R，求实数a的取值范围．
已知函数f（x）=sin（ωx+φ），其中ω＞0，|φ|＜
π
2
．
（1）若cos
π
4
cosφ-sin
3π
4
sinφ=0，求φ的值；
（2）在（1）的条件下，若函数f（x）的图象与x轴的相邻两个交点之间的距离等于
π
3
，求函数f（x）的解析式；
（3）在（2）的条件下，若方程2f（x）-1=0在区间[a，b]上有三个实数根，求b-a的取值范围．
设全集U=R，A={x|2＜x＜6}，B={x|3x-7≥8-2x}，C={x|a-2＜x＜2a}，求：
（1）（∁UA）∩B；
（2）若A∪C=A，求实数a的取值范围．
若函数f（x）=
x
ax+b
（a≠0），f（2）=1，又方程f（x）=x有唯一解，则f（x）=
 
．

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