Question

20．如图，已知向量$\overrightarrow{AB}=（{6，1}），\overrightarrow{BC}=（{x，y}），\overrightarrow{CD}=（{-2，-3}）$．
（1）若$\overrightarrow{BC}$∥$\overrightarrow{DA}$，求x与y之间的关系；
（2）在（1）的条件下，若有$\overrightarrow{AC}⊥\overrightarrow{BD}$，求x，y的值以及四边形ABCD的面积．

Answer 1

分析 （1）由$\overrightarrow{BC}$∥$\overrightarrow{DA}$，结合向量平行的坐标表示可得（x+4）y-（y-2）x=0，可求x，y的关系，
（2）由有$\overrightarrow{AC}⊥\overrightarrow{BD}$，结合（1）的关系式可求x，y的值，代入四边形的面积公式可求

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=（x+4，y-2）$，
又$\overrightarrow{BC}∥\overrightarrow{DA}$，
∴x（y-2）-y（x+4）=0⇒x+2y=0①
（2）∵$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=（x+6，y+1）$，$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=（x-2，y-3）$
又$\overrightarrow{AC}$⊥$\overrightarrow{BD}$，∴（x+6）（x-2）+（y+1）（y-3）=0⇒x²+y²+4x-2y-15=0②；
由①，②得$\left\{\begin{array}{l}{x=-6}\\{y=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=-1\end{array}\right.$，
当$\left\{\begin{array}{l}{x=-6}\\{y=3}\end{array}\right.$时，$\overrightarrow{AC}=（0，4）⇒|\overrightarrow{AC}|=4$，$\overrightarrow{BD}=（-8，0）⇒|\overrightarrow{BD}|=8$，则${S_{ABCD}}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AC}|•|\overrightarrow{BD}|=16$；
当$\left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=-1\end{array}\right.$时，$\overrightarrow{AC}=（8，0）⇒|\overrightarrow{AC}|=8$，$\overrightarrow{BD}=（0，-4）⇒|\overrightarrow{BD}|=4$，
则${S_{ABCD}}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AC}|•|\overrightarrow{BD}|=16$；
综上知${S_{ABCD}}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AC}|•|\overrightarrow{BD}|=16$．

点评 本题主要考查了向量平行的坐标表示，向量数量积的性质的应用，属于基础试题．