Question

11．设数列{a_n}的前n项和${S_n}={2^{n+1}}-2$，数列{b_n}满足b_n=log₂a_n，c_n=a_n+b_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由数列递推式：当n=1时，a₁=S₁，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，即可得到所求通项公式；
（2）求得b_n=${log_2}{a_n}={log_2}{2^n}=n$，c_n=a_n+b_n=2ⁿ+n，运用数列的求和方法：分组求和，结合等比数列和等差数列的求和公式，即可得到所求和．

解答 解：（1）数列{a_n}的前n项和${S_n}={2^{n+1}}-2$，
当n=1时，a₁=S₁=2，
∴当n≥2时，S_n-1=2ⁿ-2，
∴a_n=S_n-S_n-1=（2ⁿ⁺¹-2）-（2ⁿ-2）=2ⁿ，
当n=1时，成立，
∴数列{a_n}是以2为首项，以2为公比的等比数列，
∴数列{a_n}的通项公式为：a_n=2ⁿ；
（2）b_n=${log_2}{a_n}={log_2}{2^n}=n$，
由c_n=a_n+b_n=2ⁿ+n，
数列{c_n}的前n项和T_n=a₁+b₁+a₂+b₂+…+a_n+b_n
=（2+2²+2³+…+2ⁿ）+（1+2+3+…+n）
=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$+$\frac{（1+n）n}{2}$=2ⁿ⁺¹-2+$\frac{（1+n）n}{2}$，
故数列{c_n}的前n项和T_n=2ⁿ⁺¹-2+$\frac{（1+n）n}{2}$．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列递推式：当n=1时，a₁=S₁，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，考查数列的求和方法：分组求和，注意运用等差数列和等比数列的求和公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．