Question

16．四边形ABCD中，E，F分别为BD，DC的中点，AE=DC=3，BC=2，BD=4．
（1）试求$\overrightarrow{AE}$，$\overrightarrow{BC}$表示$\overline{AF}$；
（2）求$\overrightarrow{AB}$²+$\overrightarrow{AD}$²的值；
（3）求$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AD}$的最大值．

Answer 1

分析 （1）由已知结合共线向量基本定理得答案；
（2）由已知结合向量加法、减法的运算法则求解；
（3）由向量加法、减法及向量的数量积运算得答案．

解答 解：（1）∵E，F分别为BD，DC的中点，
∴$\overrightarrow{EF}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$，则$\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{AE}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$；
（2）${\overrightarrow{AB}}^{2}+{\overrightarrow{AD}}^{2}=（\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EB}）^{2}+（\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{ED}）^{2}$
=$（\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EB}）^{2}+（\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{EB}）^{2}=2{\overrightarrow{AE}}^{2}+2{\overrightarrow{EB}}^{2}=2×{3}^{2}+2×{2}^{2}=26$；
（3）$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AD}=（\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{FC}）•（\overrightarrow{AF}-\overrightarrow{FC}）={\overrightarrow{AF}}^{2}-{\overrightarrow{FC}}^{2}$=${\overrightarrow{AF}}^{2}-\frac{9}{4}$，
∵${\overrightarrow{AF}}^{2}=（\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EF}）^{2}={\overrightarrow{AE}}^{2}+{\overrightarrow{EF}}^{2}+2\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{EF}$
=10-6cos∠AEF．
∴当∠AEF=π时，${\overrightarrow{AF}}^{2}$取得最大值16．
∴$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AD}$的最大值为$\frac{55}{4}$．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量加法与减法的三角形法则，是中档题．