Question

7．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，直线y=2x-4截抛物线弦长|AB|=$3\sqrt{5}$，求抛物线标准方程及它的准线方程．

Answer 1

分析 设抛物线方程为y²=2px（p≠0），将直线方程y=2x-4代入，并整理，利用韦达定理，结合弦长公式，即可求抛物线的方程及它的准线方程．

解答 解：设所求的抛物线方程为 y²=ax （a≠0），A（（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由y²=ax与y=2x-4，消去y得4x²-（ a+16）x+16=0        …（2分）
由△=（a+16）²-256＞0得a＞0，或a＜-32
∵x₁+x₂=$\frac{a+16}{4}$x₁ x₂=4                 …（4分）
∴|AB|=$\sqrt{（1+{2^2}）[{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}•{x_2}]}$=$\sqrt{5[{{（\frac{a+16}{4}）}^2}-16]}$
∴$\sqrt{5[{{（\frac{a+16}{4}）}^2}-16]}$=45
∴a=4或a=-36        …（8分）
∴所求抛物线方程为y²=4x或y²=-36x       …（10分）
准线方程分别为x=-1，x=9           …（12分）

点评 本题考查抛物线的标准方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线的弦长计算，属于中档题．