Question

已知公比不为1的等比数列{a_n}的首项a₁=

1

2

，前n项和为S_n，且a₃+S₅，a₄+S₄，a₅+S₃成等差数列．
（1）求等比数列{a_n}的通项公式；
（2）对n∈N₊，在a_n与a_n+1之间插入3ⁿ个数，使这个3ⁿ+2个数成等差数列，记插入的这个3ⁿ个数的和为b_n，且c_n=

3n

4bn

．求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件得a₃+S₄-a₃-S₃=a₅+S₅-a₄-S₄，从而得到2q²-3q+1=0，由此能求出an=

1

2n

．
（2）由cn=n•(

2

3

)n，利用错位相减法能求出数列{c_n}的前n项和T_n．

解答： 解：（1）∵公比不为1的等比数列{a_n}的首项a₁=

1

2

，前n项和为S_n，
且a₃+S₅，a₄+S₄，a₅+S₃成等差数列，
∴a₃+S₄-a₃-S₃=a₅+S₅-a₄-S₄，
∴2a₅-3a₄+a₃=0，
∴2q²-3q+1=0，
∵q≠1，∴q=

1

2

，
∴an=

1

2n

．
（2）bn=

an+an+1

2

•3n=

3

4

•(

3

2

)n，
∵c_n=

3n

4bn

，∴cn=n•(

2

3

)n，
∴Tn=1×

2

3

+2×(

2

3

)2+3×(

2

3

)3+…+n×(

2

3

)n，①

2

3

Tn=1×(

2

3

)2+2×(

2

3

)3+3×(

2

3

)4+…+n×(

2

3

)n+1，②
①-②，得：

1

3

Tn=

2

3

+(

2

3

)2+(

2

3

)3+…+(

2

3

)n-n×(

2

3

)n+1
=

2 3 [1-( 2 3 )n]

1- 2 3

-n•(

2

3

)n+1，
∴T_n=6-6×(

2

3

)n-2n(

2

3

)n=6-(6+2n)•(

2

3

)n．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．