Question

求函数f（x）=ax²-4x-1，x∈[1，4]的最值．

Answer 1

考点：二次函数在闭区间上的最值

专题：函数的性质及应用

分析：分a=0、a＞0、a＜0三种情况，分别利用函数的单调性和二次函数的图象，求得函数的值域．

解答： 解：①当a=0时，f（x）=-4x-1在[1，4]上是减函数，故有值域为[-17，-5]．
②当a＞0时，函数f（x）=ax²-4x-1的对称轴为x=

2

a

＞0，
若

2

a

＜1，即a＞2时，f（x）=ax²-4x-1在[1，4]上是增函数，故值域为[a-5，16a-17]．
若 1≤

2

a

≤

5

2

，即

4

5

≤a≤2 时，f（x）=ax²-4x-1在[1，4]上的最大值为f（4）=16a-17，
最小值为f（

2

a

）=-

4

a

-1，故函数的值域为[-

4

a

-1，16a-17]．
若

5

2

＜

2

a

≤4，即

1

2

≤a＜

4

5

时，f（x）=ax²-4x-1在[1，4]上的最大值为f（1）=a-5，
最小值为f（

2

a

）=-

4

a

-1，故函数的值域为[-

4

a

-1，a-5]．
若

2

a

＞4 即0＜a＜

1

2

时，f（x）=ax²-4x-1在[1，4]上是减函数，故值域为[16a-17，a-5]．
③当a＜0时，函数f（x）=ax²-4x-1的对称轴为x=

2

a

＜0，
f（x）=ax²-4x-1在[1，4]上是增函数，故值域为[a-5，16a-17]．

点评：本题主要考查求函数的值域，体现了分类讨论的数学思想，注意分类的层次，属于基础题．