Question

（文）已知函数f（x）=lnx与g（x）=kx+b（k，b∈R）的图象交于P，Q两点，曲线y=f（x）在P，Q两点处的切线交于点A．
（1）当k=e，b=-3时，求函数h（x）=f（x）-g（x）的单调区间；（e为自然常数）
（2）若A（

e

e-1

，

1

e-1

），求实数k，b的值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（1）构建新函数，求导函数，利用导数确定函数的单调性，从而可求函数的最大值；
（2）先求出切线方程，代入A的坐标，进而求出P，Q的坐标，即可求实数k，b的值．

解答： 解：（1）设h（x）=f（x）-g（x）=lnx-ex+3（x＞0），
则h（x）=

1

x

-e当0＜x＜

1

e

时，h′（x）＞0，此时函数h（x）为增函数；
当x＞

1

e

时，h′（x）＜0，此时函数h（x）为减函数．
所以函数h（x）的增区间为（0，

1

e

），减区间为（

1

e

，+∞）．
（2）设过点A的直线l与函数f（x）=lnx切于点（x₀，lnx₀），则其斜率k=

1

x0

，
故切线l：y-lnx₀=

1

x0

（x-x₀），
将点A代入直线l方程得：

1

e-1

-lnx₀=

1

x0

（

e

e-1

-x₀），
即

e-1

e

lnx₀+

1

x0

-1=0，
设v（x）=

e-1

e

lnx+

1

x

-1，则v′（x）=

e-1

ex2

（x-

e

e-1

），
当0＜x＜

e

e-1

时，v′（x）＜0，函数v（x）为减函数；
当x＞

e

e-1

时，v′（x）＞0，函数v（x）为增函数．
故方程v（x）=0至多有两个实根，
又v（1）=v（e）=0，所以方程v（x）=0的两个实根为1和e，
故P（1，0），Q（e，1），
所以k=

1

e-1

，b=

1

1-e

为所求．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查导数的几何意义，解题的关键是构建函数，正确运用导数知识．