Question

已知双曲线C₁：

x2

a2

-

y2

b2

=1和双曲线C₂：

y2

a2

-

x2

b2

=1，其中b＞a＞0，且双曲线C₁与C₂的交点在两坐标轴上的射影恰好是两双曲线的焦点，则双曲线C₁的离心率是

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由题意，可得两双曲线在第一象限的交点为（c，c），代入双曲线方程，可得

c2

a2

-

c2

b2

=1，进一步可得e⁴-3e²+1=0，即可求出双曲线C₁的离心率．

解答： 解：由题意，可得两双曲线在第一象限的交点为（c，c），
代入双曲线方程，可得

c2

a2

-

c2

b2

=1，
∴b²c²-a²c²=a²b²，
∴（c²-a²）c²-a²c²=a²（c²-a²），
∴e⁴-3e²+1=0，
∵e＞1，
∴e=

5 +1

2

．
故答案为：

5 +1

2

．

点评：本题考查双曲线的离心率，考查学生的计算能力，确定a，c的关系是关键．