Question

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别a，b，c．已知向量

m

=（cosA，a），

n

=（b-2c，cosB-2cosC），满足

m

⊥

n

．
（1）求

sinB

sinC

的值；
（2）若cosA=

1

4

，a=2，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：正弦定理,平面向量数量积的运算

专题：解三角形

分析：（1）先根据向量垂直和向量的坐标，建立等式，利用两角和公式化简可求得sinB和sinC的关系．
（2）先利用正弦定理根据（1）的结论求得b和c的关系，进而根据余弦定理和已知条件求得b和c，利用平方关系求得sinA的值，最后利用三角形面积公式求得答案．

解答： 解：（1）∵

m

⊥

n

，
∴cosA（b-2c）+a（cosB-2cosC）=0，
∴cosAsinB-2sinCcosA+sinAcosB-2sinAcosC=0，
∴sin（A+B）=2sin（A+C），
∴sinC=2sinB，
∵sinC≠0，
∴

sinB

sinC

=

1

2

．
（2）∵

sinB

sinC

=

1

2

，
∴

b

c

=

1

2

，设b=t，c=2t，
由余弦定理知cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

t2+4t2-4

2•1•2t2

=

1

4

，
∴t=1，
∴b=1，c=2
sinA=

1-cos2A

=

15

4

∴S=

1

2

bcsinA=

1

2

×1×2×

15

4

=

15

4

．

点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．要求学生能对正弦定理和余弦定理公式及变形公式熟练记忆．