题目内容
已知函数f（x）的定义域为[-1，1]，若对于任意的x，y∈[-1，1]，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0时，有f（x）＞0．
（1）证明：f（x）为奇函数；
（2）证明：f（x）在[-1，1]为单调递增函数．
（1）证明：f（x）为奇函数；
（2）证明：f（x）在[-1，1]为单调递增函数．
考点：利用导数研究函数的单调性,函数奇偶性的判断
专题：导数的综合应用
分析：（1）先利用特殊值法，求证f（0）=0，令y=-x即可求证；（2）由（1）得f（x）为奇函数，f（-x）=-f（x），利用定义法进行证明；
解答：
解：（1）令x=y=0，∴f（0）=0，
令y=-x，f（x）+f（-x）=0，∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）为奇函数
（2）∵f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数；
令-1≤x1＜x2≤1，
则有f（x2）-f（x1）=f（x2-x1）＞0，
∴f（x）在[-1，1]上为单调递增函数；
令y=-x，f（x）+f（-x）=0，∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）为奇函数
（2）∵f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数；
令-1≤x1＜x2≤1，
则有f（x2）-f（x1）=f（x2-x1）＞0，
∴f（x）在[-1，1]上为单调递增函数；
点评：考查抽象函数及其应用，以及利用函数单调性的定义判断函数的单调性，并根据函数的单调性解函数值不等式，体现了转化的思想，在转化过程中一定注意函数的定义域．
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