Question

已知函数，g（x）=lnx+ax²+bx，函数g（x）的图象在点（1，g（1））处的切线平行于x轴．
（Ⅰ）确定a与b的关系；
（Ⅱ）试讨论函数g（x）的单调性；
（Ⅲ）证明：对任意n∈N^*，都有ln（1+n）＞

1

22

+

1

32

+

1

42

…+

n-1

n2

成立．

Answer 1

考点：不等式的证明,利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求导得到g′（x），利用导数的几何意义即可得出；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）用a表示b，得到g′（x），通过对a分类讨论即可得到其单调性；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知当a=1时，函数g（x）=lnx+x²-3x在（1，+∞）单调递增，可得lnx+x²-3x≥g（1）=-2，即lnx≥-x²+3x-2=-（x-1）（x-2），令x=1+

1

n

，则ln（1+

1

n

）＞

1

n

-

1

n2

，利用“累加求和”及对数的运算法则即可得出

解答： 解：（Ⅰ）依题意得g（x）=lnx+ax²+bx，
则g′（x）=

1

x

+2ax+b，
由函数g（x）的图象在点（1，g（1））处的切线平行于x轴得：g′（1）=1+2a+b=0，
∴b=-2a-1；…（3分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得g′（x）=

(2ax-1)(x-1)

x

∵函数g（x）的定义域为（0，+∞）
∴①当a≤0时，2ax-1＜0在（0，+∞）上恒成立，
由g′（x）＞0得0＜x＜1，由g′（x）＜0得x＞1，
即函数g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）单调递减；
②当a＞0时，令g′（x）=0得x=1或x=

1

2a

，
若

1

2a

＜1，即a＞

1

2

时，由g′（x）＞0得x＞1或0＜x＜

1

2a

，由g′（x）＜0得

1

2a

＜x＜1，
即函数g（x）在（0，

1

2a

），（1，+∞）上单调递增，在（

1

2a

，1）单调递减；
若

1

2a

＞1，即0＜a＜

1

2

时，由g′（x）＞0得x＞

1

2a

或0＜x＜1，由g′（x）＜0得1＜x＜

1

2a

，
即函数g（x）在（0，1），（

1

2a

，+∞）上单调递增，在（1，

1

2a

）单调递减；
若

1

2a

=1，即a=

1

2

时，在（0，+∞）上恒有g′（x）≥0，
即函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，
综上得：当a≤0时，函数g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）单调递减；
当0＜a＜

1

2

时，函数g（x）在（0，1）单调递增，在（1，

1

2a

）单调递减；在（

1

2a

，+∞）上单调递增；
当a=

1

2

时，函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，
当a＞

1

2

时，函数g（x）在（0，

1

2a

）上单调递增，在（

1

2a

，1）单调递减；在（1，+∞）上单调递增；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知当a=1时，函数g（x）=lnx+x²-3x在（1，+∞）单调递增，
∴lnx+x²-3x≥g（1）=-2，即lnx≥-x²+3x-2=-（x-1）（x-2），
令x=1+

1

n

，则ln（1+

1

n

）＞

1

n

-

1

n2

，
∴ln（1+1）+ln（1+

1

2

）+…+ln（1+

1

n

）＞1-

1

12

+

1

2

-

1

22

+…+

1

n

-

1

n2

，
∴ln（1+n）＞

1

22

+

1

32

+

1

42

…+

n-1

n2

．

点评：熟练掌握导数的几何意义、分类讨论、利用导数研究函数的单调性、善于利用已经证明的结论、“累加求和”及对数的运算法则、“分析法”、“构造法”等是解题的关键．