Question

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，其棱长为1，则列命题中正确命题的个数为（　　）
（1）A₁C₁和AD₁所成角为

π

3

（2）B₁到截面A₁C₁D的距离为

2 3

3

（3）正方体的内切球与外接球的半径比为1：

2

．

• A、0
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

考点：球内接多面体,棱柱的结构特征

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）首先，连结AC、CD₁、AD₁，则∠CAD₁就是A₁C₁和AD₁所成角，然后求解即可；
（2）可以利用等积法求解其高；
（3）正方体的内切球半径就是棱长的一半，外接球的直径就是正方体的体对角线．

解答： 解：对于（1）如图

连结AC、CD₁、AD₁，
则∠CAD₁就是A₁C₁和AD₁所成角，
在等边△ACD₁中，
∴∠CAD₁=

π

3

，故（1）正确；
对于（2）如图：

V_{三棱锥B1-A1C1D}=V_{三棱锥D-A1B1C1}，
即

1

3

S_△A1C1D×h=

1

3

S_△A1B1C1×a，
∴h=

3

3

．
故（2）错误；
对于（3）：
设正方体的棱长为2a，
则正方体的内切球半径就是棱长的一半，
即r=a，
外接球的直径就是正方体的体对角线，即
R=

3

a，
∴r：R=1：

3

，
故（3）错误，
综上，只有（1）正确；
故选：B．

点评：本题重点考查了正方体中的边角关系、线线平行、体积公式等知识，属于中档题．解题关键是正确添加辅助线和等积法在求解距离中的灵活运用．