题目内容
已知P是△ABC所在平面α外一点，O是点P在平面α内的射影
（1）若P到△ABC的三个顶点的距离相等，则O是△ABC外心；
（2）若PA、PB、PC与平面α所成的角相等，则O是△ABC的内心；
（3）若P到△ABC三边距离相等，且O在△ABC的内部，则O是△ABC的内心；
（4）若平面PAB、PBC、PCA与平面α所成的角相等，且O在△ABC的内部，则O是△ABC的外心；
（5）若PA、PB、PC两两垂直，则O是△ABC的垂心．
其中正确命题的序号是 （把你认为正确命题的序号都写上）
（1）若P到△ABC的三个顶点的距离相等，则O是△ABC外心；
（2）若PA、PB、PC与平面α所成的角相等，则O是△ABC的内心；
（3）若P到△ABC三边距离相等，且O在△ABC的内部，则O是△ABC的内心；
（4）若平面PAB、PBC、PCA与平面α所成的角相等，且O在△ABC的内部，则O是△ABC的外心；
（5）若PA、PB、PC两两垂直，则O是△ABC的垂心．
其中正确命题的序号是
考点：命题的真假判断与应用
专题：简易逻辑
分析：先跟据条件画出图形，通过直线与平面所成角、二面角以及直线与平面垂直，内角平分线判断出五个命题中得出垂心，外心，内心，正确命题即可．
解答：
解：对于（1），如图P是△ABC所在平面外一点，O是P点在平面a上的射影．
若P到△ABC三个顶点的距离相等，由条件可证得OA=OB=OC，
由三角形外心的定义可知，此时O是三角形ABC的外心，
∴命题（1）正确；
对于（2），∠PAO=∠PBO=∠PCO⇒AO=BO=CO⇒O为三角形的外心，
∴命题（2）不正确．
对于（3），在△ABC内部取一点P使得点P到△ABC的三边距离相等，
∴点P应是△ABC的三内角角平分线的交点．三内角角平分线的交点，则O是△ABC的内心，
∴命题（3）正确；
对于（4），∠PEO=∠PFO=∠PDO⇒OD=OE=OF⇒O为三角形的内心．则O是△ABC的外心，命题（4）不正确．
对于（5），连结AO并延长，交BC与D连结BO并延长，交AC与E；
因PA⊥PB，PA⊥PC，故PA⊥面PBC，故PA⊥BC；
因PO⊥面ABC，故PO⊥BC，故BC⊥面PAO，
故AO⊥BC即AO⊥BC；
同理：BO⊥AC；
故O是△ABC的垂心．
∴命题（5）正确；
故答案为：（1）（3）（5）．
解：对于（1），如图P是△ABC所在平面外一点，O是P点在平面a上的射影．若P到△ABC三个顶点的距离相等，由条件可证得OA=OB=OC，
由三角形外心的定义可知，此时O是三角形ABC的外心，
∴命题（1）正确；
对于（2），∠PAO=∠PBO=∠PCO⇒AO=BO=CO⇒O为三角形的外心，
∴命题（2）不正确．
对于（3），在△ABC内部取一点P使得点P到△ABC的三边距离相等，
∴点P应是△ABC的三内角角平分线的交点．三内角角平分线的交点，则O是△ABC的内心，
∴命题（3）正确；
对于（4），∠PEO=∠PFO=∠PDO⇒OD=OE=OF⇒O为三角形的内心．则O是△ABC的外心，命题（4）不正确．
对于（5），连结AO并延长，交BC与D连结BO并延长，交AC与E；
因PA⊥PB，PA⊥PC，故PA⊥面PBC，故PA⊥BC；
因PO⊥面ABC，故PO⊥BC，故BC⊥面PAO，
故AO⊥BC即AO⊥BC；
同理：BO⊥AC；
故O是△ABC的垂心．
∴命题（5）正确；
故答案为：（1）（3）（5）．
点评：本题考查三角形内的特殊点内心，外心，垂心，此是三角形常考的一种题型，同时考查了线面垂直的定义与三角形的全等等知识．
练习册系列答案
金钥匙试卷系列答案
相关题目
下列命题中的假命题是（ ）
| A、?x∈R，2x＞0 |
| B、“|a|＞0”是“a＞0”的必要不充分条件 |
| C、“x＜2”是“|x|＜2”的充分不必要条件 |
| D、“?x0∈R，使得x2-x＞0”的否定是“?x∈R，都有x2-x≤0” |